黄金長方形から黄金正方形へ

自身で作ったエクセル3角関数計算機で、黄金長方形 (1 X 1.618..)の角度の計算を試した。

そして、気づいたことは、短い方の辺を１から１．６１８．．．に伸ばしてできる正方形で増えた面積の長方形は　0.618.. X 1.618..　で、面積は１、対角線の長さはルート３、tangent 2.618.. は、元の長方形の対角線の　tangent 1.618.. に対応していることなどに気づいた。

この黄金比平方の正方形は、まだ名前がついていないようなので、黄金正方形　Golden Square　と呼ぶことにしたい。

円周率

2006.05.01
円周率 1000000 桁. π=3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 ...

まだまだ続きます、いや終わらない。

だから、これ（Π）を約数ではなく概数（分数、式）（'approximations'）で表す工夫例が
ここなどに見られます。

それで、僕は考えていきたい。

円周率Πを使用したお馴染みの
I.　円周２Πｒ
II.　面積Πｒ二乗
それぞれを、半径１の円に内接する正多角形ｎ角形の一つの三角形の、
辺（円に対する弦）と円の中心点を頂点とする角度αの関係：
n→∞、α→0　かつ　sin（Π÷180×α÷ｎ）→0
ここでα＝1とすると、
n→∞、sin（Π÷180÷（ｎ÷360））（式I）→0

以上のもとで、
・・・

ここで、これをパソコンとか電卓のかわりに時々使えば便利かなというものを今見つけました。
ブログを書きながらこれから頼りにしていくかもしれません。それは
Google Help: Search Features の中の"Calculator"。

ここで、試しに黄金比にでてくる三角形の検証に使おう。
△ABC　において∠C=90'　a=X b=√X c=1　
ここでは √X2乗＋１＝X2乗 ⇔ X2乗－X－１＝０　
問題１）Xを求める　２）∠B=72'なのか

√３：'sqrt(3) = 1.73205081'
(1+√5)/2：'sqrt((1+sqrt(5))/2)^2=1.61803399' (X　(c))
√((1+√5)/2)：'sqrt((1+sqrt(5))/2) =1.27201965' (√X　(b))
√((1+√5)/2)/(1+√5)/2：'sqrt((1+sqrt(5))/2)/sqrt((1+sqrt(5))/2)^2=0.786153617' (b/c)
'sin51.8275'=0.786153617' sin 51.8275'
'sin 60'=0.866025404 ' sin 60.0000'
'sqrt(3)/2=0.866025404 ' √３/2=sin 60.0000'

・・・

sin 0°=0　
sin 1°=0.0174524064 ;Calculatorには　"sin (Pi/180)"とタイプ
sin 0.1°=0.00174532837 ;Calculatorには　"sin (Pi/1800)"とタイプ
sin 0.01°=0.000174532924 ;Calculatorには　"sin (Pi/18000)"とタイプ

I.　円周

半径１の円に内接する、
360角形の辺の長さ合計：0.0174524064 X 360 =6.28286632
X 1/2 = 3.14143316
3600角形の辺の長さ合計：0.00174532837 X 3600 =6.28318212
X 1/2 = 3.14159106
36000角形の辺の長さ合計：0.000174532924 X 36000 =6.28318528
X 1/2 = 3.14159264
ここから先は、また時間のある時にしますが、

36000角形の内角の和は： 180°X (36000-2)
だから一つの頂点の内角：180°X (36000-2)/36000　≒180°
よって、ここまでの誤差：2/36000　≒ 0.00005555555
Calculatorでは "5.55555556 X 10マイナス５乗"となる。
↓
36000角形の、円に対する誤差は：　5/9 X 10マイナス６乗

仮説：半径１の円と、それに内接する正ｎ角形（「ｎ角形」と呼ぶ）において、
ｎ角形の辺の長さの円周に対する誤差、
　　　　すなわち円周率誤差は：

円周率誤差2/n; n→∞ 　2/n→　0

マイナス側から

・・・
II.　面積　36000角形において、
・式Iを使用、また一つの三角形の面積は＜底辺×高さ×(1 / 2)＞だから、

sin((Pi / 180) / (36 000 / 360)) * (1 / 2) * 36 000 = 3.14159264

・または、もっと難しく考えないで、一つの３角形の面積×36000（角形）だから、
sin((Pi / 180) / 100) * 0.5 * 36 000 = 3.14159264
・・・

radian(pi)：'radian(pi) = 3.14159265'

こう考え出すと、グーグルの世界に来ているのでしょうか。びっくりします。
でもグーグルの由来を聞いて、またびっくりします。それは、'Googol'から来ているそうです。

Googol=1X10の１００乗

Prose in Pi

円周率と正多角形：誤差の検討

2006.05.01
円周率 1000000 桁. π=3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 ...

まだまだ続きます、いや終わらない。

だから、これ（Π）を約数ではなく概数（分数、式）（'approximations'）で表す工夫例が
ここなどに見られます。

それで、僕は考えていきたい。

円周率Πを使用したお馴染みの
I.　円周２Πｒ
II.　面積Πｒ二乗
それぞれを、半径１の円に内接する正多角形ｎ角形の一つの三角形の、
辺（円に対する弦）と円の中心点を頂点とする角度αの関係：
n→∞、α→0　かつ　sin（Π÷180×α÷ｎ）→0
ここでα＝1とすると、
n→∞、sin（Π÷180÷（ｎ÷360））（式I）→0

以上のもとで、
・・・

ここで、これをパソコンとか電卓のかわりに時々使えば便利かなというものを今見つけました。
ブログを書きながらこれから頼りにしていくかもしれません。それは
Google Help: Search Features の中の"Calculator"。

ここで、試しに黄金比にでてくる三角形の検証に使おう。
△ABC　において∠C=90'　a=X b=√X c=1　
ここでは √X2乗＋１＝X2乗 ⇔ X2乗－X－１＝０　
問題１）Xを求める　２）∠B=72'なのか

√３：'sqrt(3) = 1.73205081'
(1+√5)/2：'sqrt((1+sqrt(5))/2)^2=1.61803399' (X　(c))
√((1+√5)/2)：'sqrt((1+sqrt(5))/2) =1.27201965' (√X　(b))
√((1+√5)/2)/(1+√5)/2：'sqrt((1+sqrt(5))/2)/sqrt((1+sqrt(5))/2)^2=0.786153617' (b/c)
'sin51.8275'=0.786153617' sin 51.8275'
'sin 60'=0.866025404 ' sin 60.0000'
'sqrt(3)/2=0.866025404 ' √３/2=sin 60.0000'

・・・

sin 0°=0　
sin 1°=0.0174524064 ;Calculatorには　"sin (Pi/180)"とタイプ
sin 0.1°=0.00174532837 ;Calculatorには　"sin (Pi/1800)"とタイプ
sin 0.01°=0.000174532924 ;Calculatorには　"sin (Pi/18000)"とタイプ

I.　円周

半径１の円に内接する、
360角形の辺の長さ合計：0.0174524064 X 360 =6.28286632
X 1/2 = 3.14143316
3600角形の辺の長さ合計：0.00174532837 X 3600 =6.28318212
X 1/2 = 3.14159106
36000角形の辺の長さ合計：0.000174532924 X 36000 =6.28318528
X 1/2 = 3.14159264
ここから先は、また時間のある時にしますが、

36000角形の内角の和は： 180°X (36000-2)
だから一つの頂点の内角：180°X (36000-2)/36000　≒180°
よって、ここまでの誤差：2/36000　≒ 0.00005555555
Calculatorでは "5.55555556 X 10マイナス５乗"となる。
↓
36000角形の、円に対する誤差は：　5/9 X 10マイナス６乗

仮説：半径１の円と、それに内接する正ｎ角形（「ｎ角形」と呼ぶ）において、
ｎ角形の辺の長さの円周に対する誤差、
　　　　すなわち円周率誤差は：

円周率誤差2/n; n→∞ 　2/n→　0

マイナス側から

・・・
II.　面積　36000角形において、
・式Iを使用、また一つの三角形の面積は＜底辺×高さ×(1 / 2)＞だから、

sin((Pi / 180) / (36 000 / 360)) * (1 / 2) * 36 000 = 3.14159264

・または、もっと難しく考えないで、一つの３角形の面積×36000（角形）だから、
sin((Pi / 180) / 100) * 0.5 * 36 000 = 3.14159264
・・・

radian(pi)：'radian(pi) = 3.14159265'

こう考え出すと、グーグルの世界に来ているのでしょうか。びっくりします。
でもグーグルの由来を聞いて、またびっくりします。それは、'Googol'から来ているそうです。

Googol=1X10の１００乗

Prose in Pi